Le calendrier perpétuel
Il n’existe que 14 calendriers annuels possibles (7 jours pour le 1er janvier × bissextile ou non) ; 2027 commence un vendredi et n’est pas bissextile, comme 2010 et 2038. La congruence de Zeller et la méthode de Conway donnent le jour de la semaine de n’importe quelle date sans table.
14 calendriers-types suffisent pour toutes les années
Une année est entièrement déterminée par deux données : le jour de la semaine de son 1er janvier (7 possibilités) et son caractère bissextile ou non (2 possibilités). Il existe donc 14 calendriers annuels différents, et tout calendrier perpétuel imprimé n’est qu’une table qui associe chaque année à l’un des 14. Le calendrier grégorien se répétant à l’identique tous les 400 ans, une même année-type revient à intervalles de 6, 11 ou 28 ans : 2027 (vendredi, commune) a le même calendrier que 2010 et 2038 ; 2028 (samedi, bissextile) retrouve 2000 et 2056.
| Année | 1er janvier | Bissextile | Calendrier-type | Mêmes calendriers (1990-2060) |
|---|---|---|---|---|
| 2024 | lundi | oui | type 8 | 1996, 2052 |
| 2025 | mercredi | non | type 3 | 1997, 2003, 2014, 2031, 2042, 2053, 2059 |
| 2026 | jeudi | non | type 4 | 1998, 2009, 2015, 2037, 2043, 2054 |
| 2027 | vendredi | non | type 5 | 1993, 1999, 2010, 2021, 2038, 2049, 2055 |
| 2028 | samedi | oui | type 13 | 2000, 2056 |
| 2029 | lundi | non | type 1 | 1990, 2001, 2007, 2018, 2035, 2046, 2057 |
| 2030 | mardi | non | type 2 | 1991, 2002, 2013, 2019, 2041, 2047, 2058 |
Numérotation utilisée ici : types 1 à 7 pour les années communes commençant un lundi à un dimanche, 8 à 14 pour les bissextiles. Les 14 types ne sont pas équiprobables sur 400 ans : une année commune commençant un mardi ou un jeudi revient 44 fois, une bissextile commençant un vendredi ou un dimanche 15 fois, une bissextile commençant un lundi, un jeudi ou un samedi 13 fois seulement.
La congruence de Zeller : le jour de la semaine par une formule
Publiée par Christian Zeller en 1882, la formule donne le jour de la semaine de n’importe quelle date grégorienne. On traite janvier et février comme les mois 13 et 14 de l’année précédente (pour que le jour bissextile soit en fin d’année), puis : h = (q + ⌊13(m+1)/5⌋ + K + ⌊K/4⌋ + ⌊J/4⌋ + 5J) mod 7, avec q le jour du mois, m le mois (3 à 14), K l’année dans le siècle, J le siècle ; h = 0 pour samedi, 1 dimanche, … 6 vendredi.
- 14 juillet 1789 : h = (14 + 20 + 89 + 22 + 4 + 85) mod 7 = 3 → mardi. La prise de la Bastille a bien eu lieu un mardi.
- 28 mars 2027 : h = (28 + 10 + 27 + 6 + 5 + 100) mod 7 = 1 → dimanche, ce qui est attendu pour Pâques.
- 1er janvier 2000 (m = 13, année 1999) : h = (1 + 36 + 99 + 24 + 4 + 95) mod 7 = 0 → samedi.
La méthode de Conway : le « jour du jugement »
John Conway (1973) a remarqué que dans toute année, les dates 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12, 9/5, 5/9, 7/11, 11/7, ainsi que le dernier jour de février, tombent le même jour de la semaine, le doomsday. Il suffit de connaître ce jour pour l’année, puis de compter à partir de la date-repère la plus proche. Le doomsday d’une année se calcule depuis l’ancre du siècle (mardi pour 2000-2099) : pour 2027, 27 = 2 × 12 + 3, 3 div 4 = 0, total 2 + 3 + 0 = 5, mardi + 5 = dimanche. Vérification : le 4 avril 2027 est un dimanche. Pour trouver le vendredi 28 août 2026 : le 8/8 est un dimanche, le 28 août est 20 jours plus tard, 20 mod 7 = 6, soit vendredi.
Le cycle de 28 ans et ses limites
À l’intérieur d’un siècle grégorien, le calendrier se répète tous les 28 ans (7 jours × 4 ans) : 1999 = 2027 = 2055. La règle se brise aux années séculaires non bissextiles : le calendrier de 2099 ne revient pas en 2127 mais en 2110. Sur 400 ans, le cycle complet est de 20 871 semaines et le premier jour de l’année n’est pas équiréparti : le 1er janvier tombe plus souvent un mardi, un vendredi ou un dimanche (58 fois) qu’un lundi ou un samedi (56 fois). Le vendredi 13 est, de très peu, le jour de mois-jour de semaine le plus fréquent.
Erreurs fréquentes
- Appliquer Zeller à une date julienne (avant le 15 octobre 1582 à Rome, le 20 décembre 1582 en France) : il existe une variante julienne avec « + 5 + J » au lieu de « + ⌊J/4⌋ + 5J ».
- Oublier de reculer l’année pour janvier et février : le 1er janvier 2000 se calcule avec K = 99, J = 19.
- Croire que le cycle de 28 ans est universel : il saute en 2100.
Tableau récapitulatif
| Méthode | Principe | Usage |
|---|---|---|
| 14 calendriers-types | 1er janvier + bissextile | calendrier perpétuel imprimé |
| Zeller (1882) | formule modulaire | programmation, calcul mental avec papier |
| Conway (1973) | dates-repères sur un même jour | calcul mental |
| Cycle de 28 ans | répétition dans un siècle | réutiliser un vieil agenda : 1999 = 2027 |
Voir aussi : Quel jour de la semaine ? (outil), Calendrier 2027, Calendrier 2028, Année bissextile, Le calendrier grégorien, Semaine ISO 8601.
Questions fréquentes
Quelle année a le même calendrier que 2027 ?
2010 et 2038 (années communes commençant un vendredi), puis 2049. Un agenda de 2010 est réutilisable en 2027, jours fériés fixes compris ; seules les fêtes mobiles (Pâques) diffèrent.
Quel jour de la semaine était le 14 juillet 1789 ?
Un mardi, par la congruence de Zeller (h = 3). Le 1er janvier 2000 était un samedi et le 28 mars 2027 est un dimanche.
Qu’est-ce que le doomsday de Conway ?
Le jour de la semaine commun aux dates 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12, 9/5, 5/9, 7/11, 11/7 et au dernier jour de février d’une année. Pour 2027, c’est le dimanche.
Combien de temps avant que le calendrier se répète ?
6, 11 ou 28 ans selon la position dans le cycle bissextile, et exactement 400 ans pour l’ensemble du calendrier grégorien.
Sources : Christian Zeller, « Kalender-Formeln », Acta Mathematica, vol. 9, 1886 (première publication 1882) ; John H. Conway, « Tomorrow is the Day After Doomsday », Eureka, n° 36, 1973 ; Nachum Dershowitz et Edward Reingold, « Calendrical Calculations », 4e éd. 2018, chap. 2 ; Jean Lefort, « La saga des calendriers », Belin, 1998.